π是一个无理数，那么圆的周长也应该是无理数，但圆的周长是固定的啊，怎么解释？

关于问题π是一个无理数，那么圆的周长也应该是无理数，但圆的周长是固定的啊，怎么解释？一共有 2 位热心网友为你解答:

【1】、来自网友【思考思考的动物】的最佳回答：

在代数上，π＝3.1415926… 是一个无限不循环小数，直觉告诉我们它一直在变动的数。在几何上，直径等于 1 的圆周长度是π，生活常识告诉我们圆周是长度固定不变的曲线。但是，不管是代数还是几何都是同一个π，于是截然相反的直觉和常识中只有一个是对的，那就是常识，即：π是固定不变的。

那么，为什么我们在代数上的直觉错误呢？这和称作

极限

的数学概念有关。

极限最早是和一些悖论联系在一起的，其中最有名的莫属古希腊时期芝诺提出的追龟问题：

古希腊跑的最快的英雄阿基里斯追赶一只爬在前方的乌龟。阿基里斯对准乌龟的当前位置跑过去，当他跑到该位置时，乌龟已经向前爬了一段，于是阿基里斯又对准乌龟的新当前位置跑过去，当他跑到该位置时，乌龟又向前爬了一段，于是…。

这个循环会进行下去，我们的直觉告诉我们阿基里斯永远追不上乌龟。可是这又违反我们的生活常识：跑的快的人总可以追上跑的慢的人。同一个事物只能有一种可能，这里，常识是对的，直觉又是错的。

我们可通过具体分析找出问题之所在，设，阿基里斯和乌龟的速度分别是 w 和 v，显然 w > v > 0，最初阿基里斯距离乌龟的距离是 l，则：

最初阿基里斯距离乌龟 l，阿基里斯跑完 l 用时 t₀＝l/w；

在 t₀ 时间里乌龟爬了 l₁＝vt₁＝v(l/v)＝l(v/w)，阿基里斯跑完 l₁ 用时 t₁＝l₁/w＝l/w(v/w)；

在 t₁ 时间里乌龟爬了 l₂＝vt₂ ＝l(v/w)²，阿基里斯跑完 l₂ 用时 t₂＝l₂/w＝l/w(v/w)²；

…

在 tᵢ₋₁ 时间里乌龟爬了 lᵢ＝vtᵢ₋₁ ＝l(v/w)ⁱ ，阿基里斯跑完 lᵢ 用时 tᵢ=lᵢ /w=1/w(v/w)ⁱ；

…

令，q = v/w ，则阿基里斯追赶距离呈现如下序列：

l, l q, l q², …, l qⁱ, …

第 i 轮追赶结束时，追赶总距离是：

Lᵢ = l + l q +l q² + … + l qⁱ

等式两边同乘以 q，有：

q Lᵢ = l q + l q² + … + l qⁱ + l qⁱ⁺¹ = (l + l q + l q² + … + l qⁱ ) + l qⁱ⁺¹ – l = Lᵢ + l qⁱ⁺¹ – l

最终得到：

Lᵢ = l(1 – qⁱ⁺¹) / (1 -q)

阿基里斯对乌龟的追赶会一直进行下去，当 i → ∞ 时，由于 w > v > 0，故 0 < q < 1，所以 qⁱ⁺¹ → 0，进而 Lᵢ → l / (1 – q)。令 L = l / (1 – q)，L 就是阿基里斯刚好追上乌龟所跑的距离。

类似地，阿基里斯追赶所用的时间呈现如下序列：

l/w, l/w q, l/w q², …, l/w qⁱ, …

第 i 轮追赶结束时，追赶总用时是：

Tᵢ = l/w + l/w q +l/w q² + … + l/w qⁱ

用上面的方法，可以算出：

Tᵢ = l (1 – qⁱ⁺¹) / (w – qw)

同理，当 i → ∞ 时， qⁱ⁺¹ → 0，进而 Tᵢ → l / (w – qw)。令 T = l / (w – qw)，T 就是阿基里斯刚好追上乌龟所用去的时间。

事实上，上面的距离和时间序列都是等比数列，Lᵢ 和 Tᵢ 分别是它们的部分和。

综上，阿基里斯追赶乌龟看似是无限循环下去的，但是随着循环次数的增加，追赶的距离和所花费的时间越来越小，以至于将他们加起来得到的总距离和时间都是固定有限的值，这刚好符合上面的常识。实际上，追赶问题仅仅是小学数学应用题，可以直接由联立方程：

L/w = T，l + Tv = L

解得：

L = l / (1 – v/w)，T = l / (w – v)

这和上面折腾了半天的结果完全相同。

追龟问题告诉我们：

被分割为无限轮循环的动作序列，并不一定是会永不停歇的进行下去，因为每轮循环所占有的空间和所花费的时间可能会越来越小趋近于零。

到这里即便是事实摆在面前，肯定还有人像我一样，依然觉得追龟会一直进行下去，我是这样说服自己的：

直觉：一个无线的序列加起来怎么可能有限？可以，极端的例子就是可列个 0 加起来等于 0；
直觉：总觉得序列相加需要花费时间？
◆ 在数学上，运算只有算了才花费时间，上面的追龟问题，利用巧妙的方法，避免了无限次相加的运算，所以所花时间固定。
◆ 在现实中，事物相加需要时间，但是花费时间可以越来越小趋近于 0，上面的追龟问题就是例子。

其实，在追龟问题求解过程中， L₀, L₁, L₂, …, Lᵢ … 也是一个序列，记为 { Lᵢ }，L 称为序列{ Lᵢ } 的

极限

，同样，T 称为序列 { Tᵢ } 的极限。并不是所有序列都有极限的，比如：

一尺之棰日取其半万世不竭。

每 1 天取一次，所以每次用时构成序列：

1, 1, 1, …

第 i 次，总用时为：

Tᵢ = 1 i = i

当 i → ∞， Tᵢ → ∞，故序列 {Tᵢ } 没有极限，即，所谓的：万世不竭。

回到 π 的问题。令 q = 1/10, 则 π 的十进制小数 (3.1415926…) 的所有位数构成一个序列：

3, 1q, 4q², 1q³, …, kᵢ qⁱ , …

其中，kᵢ 是自然数并且 0 ≤ kᵢ ≤ 9，数列部分和如下：

πᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + … + kᵢ qⁱ

构成另外一个序列 { πᵢ } = π₀, π₁, π₂, …, πᵢ , … ，接下来就是判断 i → ∞ 时，πᵢ 是否有极限了。由于 kᵢ 不确定，所以我们不能使用追龟问题的方法将 πᵢ 具体求出来，再进行判断。不过好在数学家研究了实数空间，发现它是完备的，即，所有柯西列的极限都存在。于是我们只要证明 { πᵢ } 是柯西列就可以了：

根据柯西列定义，如果序列 {aᵢ} 对于任意小的 ε > 0 都能找到自然数 N 使得对于任意自然数 u, v > N，都有 | aᵤ – aᵥ | < ε，则称 {aᵢ} 是柯西列。

对于任意的 ε > 0，一定存在 N 使得 qᴺ < ε，对于任意 u, v > N，不妨设 u > v，则有：

| πᵤ – πᵥ | = πᵤ – πᵥ = kᵥ₊₁ qᵛ⁺¹ + … + kᵤ qᵘ ≤ 9 qᵛ⁺¹ + … + 9 qᵘ = 9 qᵛ⁺¹ (1 – qᵘ₋ᵛ) / (1 – q)

将 q = 1/10 带入，有：

| πᵤ – πᵥ | ≤ 9 (1/10)ᵛ⁺¹ (1 – (1/10)ᵘ₋ᵛ) / (1 – 1/10) = (1/10)ᵛ – (1/10)ᵘ = qᵛ – qᵘ

因为 qᵘ > 0，所以：

| πᵤ – πᵥ | < qᵛ

又因为 v > N, 所以 qᵛ < qᴺ ，于是最终有：

| πᵤ – πᵥ | < qᴺ < ε

这就证明了 { πᵢ } 是柯西列，故，当 i → ∞ 时，πᵢ 的极限存在，它就是 π。

这个证明过程并没有，将序列中的每一项计算出来，因此在时间和空间上，这个证明也是有限的，也就是说“π是固定的”可以在有限的空间和时间中确定，所以“π是固定的”是事实。这和我们的几何常识相符。

但是，由于我们并没有具体计算出来每个 {πᵢ}，所以我们依然不知道 π 的具体值。想知道 π 的值只能老老实实计算，每次计算所花时间基本相等，所以 “计算 π 值”这件事件是永远不会结束的。

注意：

知道一个数是固定的和知道它的确切值是两回事情，后者蕴涵前者，前者不蕴涵后者。

无限不循环小数，3.1415926… 就是 { πᵢ } 的极限 π，是固定的数字。只是我们不能在有限的时间内确定它的所有小数位。

我们也可以这样理解：阿基里斯追赶一个前方变速爬行的乌龟，阿基里斯的速度是 w，乌龟速度每轮都不一样，

起初，阿基里斯距离乌龟 l₀ = 3 ，阿基里斯追赶 l₀ 用时 t₀ = l₀ / w = 3/w；

在 t₀ 时间里乌龟爬了 l₁ = 1q，阿基里斯追赶 l₁ 用时 t₁ = l₁ / w = 1/wq；

在 t₁ 时间里乌龟爬了 l₂＝4q²，阿基里斯追赶 l₂ 用时 t₂＝l₂/w＝4/wq²；

…

在 tᵢ₋₁ 时间里乌龟爬了 lᵢ＝kᵢqⁱ ，阿基里斯追赶 lᵢ 用时 tᵢ=lᵢ /w=kᵢ/wqⁱ；

…

第 i 轮追赶结束时，追赶总距离和总时间是：

Lᵢ = 3 + 1q + 4q² + 1q³ + … + kᵢ qⁱ

Tᵢ = (3 + 1q + 4q² + 1q³ + … + kᵢ qⁱ )/w

随着，追赶轮次的增加，乌龟爬行距离越来越短，阿基里斯追赶时间也越来越短，最终当 i → ∞ 时，Lᵢ → π，Tᵢ → π/w。所以，阿基里斯和乌龟证明了追赶 π 这么长距离这件事，在有限的时间和空间是可以完成的，故 π 一定是固定不变的。

最后，大家有没有发现 {πᵢ} 中的每一项都是有理数，而 {πᵢ} 的极限 π 却是无理数？

其实，数学家证明了，有理集在实数轴上稠密。所谓稠密就是指：实数轴上任何一个点（包括无理数），都可以找到一个有理数序列，使得后者的极限是前者。

这和 {πᵢ} 的极限是 π 相符合。

极限是 π 的有理数序列并不唯一，比如：

圆的内接正 i 边形周长 Cᵢ ；
Sᵢ = 4 – 4/3 + 4/5 – 4/7 + …；

都是极限趋近于 π 的有理数序列。

【2】、来自网友【徐晓亚然】的最佳回答：

圆周率当然是无理数，所谓无理数指的是那些无限不循环的小数，也就是无法写成整数之比的数。人类认识到π是无理数的时间并不是特别久，应该要比认识到根号 2 还要晚，毕竟π不是那么容易能说清楚具体的构造方式的。

既然π是无理数，那么也就是我们不管计算到它的小数点后多少万亿位，始终都是不准确的了？可是现实中，你规定好一个圆的半径和圆心，这个圆的所有特征就完全被确定下来了啊，周长，面积等等。

首先，我们要明确一个概念，

某个具体半径的圆周长是一个固定值，但并不代表我们就可以把这个固定的值准确求出来。

比如，任意的一元 n 次方程总是有 n 个解，不管这个解是实根还是复根，反正这些总是可观存在的，但是这不意味着你就可以把这些解求出来。历史上很多人痴迷于五次方程的根式解一样，认为一定存在，并且只要我们努力就一定能够的出来这样的根式解法，可惜，拉格朗日等等。尤其是在高斯得到了算术基本定理（一元 n 次方程总是有 n 个解）之后，这个想法更加让人痴狂。然而从来没有人成功，直到有个天才伽罗瓦站出来，用自己的理论证明了，没有这样的根式解法，这场数学战争才算是结束。

我们在求解积分的时候，很多形式的积分看起来很简单，可是你就是求不出原函数，那就只好一直用积分符号来表示了，虽然你看着难受。但是你却不能说原函数不存在，原函数一直都存在，只是我们用现有的数学方法表示不出来而已。

微分方程是解释这个世界很多现象最精准的数学工具，甚至可以说没有之一。有些微分方程，如果你了解它的成立过程，你会觉得没有什么比它还要精简干练了。许许多多重要微分方程的求解过程，可能要耗尽一个数学家一生的精力，然而你求不出来就是求不出来，并不代表这个解不存在。就像千禧年七大难题之一的纳威斯托克斯方程一样，就是难以求解。