关于问题如何通俗的解释泰勒公式？一共有 3 位热心网友为你解答:
【1】、来自网友【心之旅徒】的最佳回答：
这东西怎么通俗的讲？不好讲啊，大概说一下，你看能领悟到几分吧，可以慢慢看。
泰勒公式是一种数学工具，用于逼近函数的值。它通常用于逼近复杂函数的值，但可以用于任何函数。
泰勒公式有两个版本：一阶和多阶。一阶泰勒公式只考虑函数的一阶导数，而多阶泰勒公式考虑函数的多阶导数。我们将首先讨论一阶泰勒公式，然后讨论多阶泰勒公式。
一阶泰勒公式
一阶泰勒公式是一种逼近函数值的方法，它使用函数的一阶导数来估计函数的值。一阶导数是函数的斜率，因此一阶泰勒公式可以看作是用函数的斜率来逼近函数的值。
具体来说，假设我们有一个函数 f(x) 和我们想要逼近 f(x) 的值，并且我们已经知道了函数在某一点 x=a 处的值 f(a) 和斜率 f‘(a)。我们可以使用一阶泰勒公式来计算函数在点 x 处的近似值，公式如下：
f(x) ≈ f(a) + f‘(a)(x-a)
在这个公式中，f(a) 是函数在点 a 处的值，f‘(a) 是函数在点 a 处的一阶导数，也就是斜率，x-a 是点 x 与点 a 的距离。
一阶泰勒公式的应用
一阶泰勒公式的一个常见应用是在微积分中用于逼近曲线的面积。假设我们有一个函数 f(x) 和我们想要计算它在某一区间 [a,b] 中的积分，也就是：
∫f(x)dx
如果我们已经知道了函数在某一点 x=c 处的值 f(c) 和斜率 f‘(c)，我们可以使用一阶泰勒公式来逼近函数在区间 [a,b] 中的积分。具体来说，我们可以将区间 [a,b] 划分为若干个子区间，然后对每个子区间使用一阶泰勒公式来计算函数的值。这样就可以得到函数在区间 [a,b] 中的近似积分。
这种方法称为辛普森积分，它是一种常见的数值积分方法。辛普森积分的精度取决于我们将区间划分的粒度，即子区间的数量。如果将区间划分的越细，则精度越高。
多阶泰勒公式
多阶泰勒公式是一种逼近函数值的方法，它使用函数的多阶导数来估计函数的值。多阶导数是函数的导数的导数，因此多阶泰勒公式可以看作是用函数的多阶导数来逼近函数的值。
具体来说，假设我们有一个函数 f(x) 和我们想要逼近 f(x) 的值，并且我们已经知道了函数在某一点 x=a 处的值 f(a)，一阶导数 f‘(a) 和二阶导数 f‘‘(a)。我们可以使用多阶泰勒公式来计算函数在点 x 处的近似值，公式如下：
f(x) ≈ f(a) + f‘(a)(x-a) + f‘‘(a)(x-a)^2/2!
在这个公式中，f(a) 是函数在点 a 处的值，f‘(a) 是函数在点 a 处的一阶导数，f‘‘(a) 是函数在点 a 处的二阶导数，x-a 是点 x 与点 a 的距离。因此，我们可以使用这个公式来计算函数在点 x 处的近似值。
多阶泰勒公式可以扩展到更高的阶数，例如三阶、四阶等。这种情况下，多阶泰勒公式会包含更多的项，其中包含函数在点 a 处的更高阶导数。
多阶泰勒公式的应用
多阶泰勒公式的一个常见应用是用于逼近复杂函数的值。例如，假设我们有一个复杂的数学函数 f(x)，但我们只能求出它在点 x=a 处的值 f(a) 和多阶导数。在这种情况下，我们可以使用多阶泰勒公式来逼近函数在其他点的值。这样就可以在不完全知道函数的情况下，使用已知信息估计函数的值。
此外，多阶泰勒公式还可以用于处理微积分问题。例如，我们可以使用多阶泰勒公式来逼近函数的积分。这样就可以在不知道函数的情况下，使用已知信息估计函数的积分。
泰勒公式的收敛性
泰勒公式的收敛性指的是在使用泰勒公式计算函数值时，近似值与真实值的差的变化情况。如果使用泰勒公式计算函数值时，近似值与真实值的差越来越小，则称泰勒公式具有收敛性。
泰勒公式的收敛性取决于函数的特性。如果函数是连续的并且具有足够多的多项式，则泰勒公式具有收敛性。这意味着，当我们使用泰勒公式逼近函数值时，近似值与真实值的差会随着划分的粒度变得越来越小。但是，如果函数不是连续的或者没有足够多的多项式，则泰勒公式可能不具有收敛性。这意味着，当我们使用泰勒公式逼近函数值时，近似值与真实值的差可能不会变得越来越小。
泰勒公式的精度
泰勒公式的精度指的是使用泰勒公式计算函数值时，近似值与真实值的差的大小。如果使用泰勒公式计算函数值时，近似值与真实值的差越来越小，则称泰勒公式具有较高的精度。
泰勒公式的精度取决于函数的特性和我们使用的泰勒公式的阶数。如果函数是连续的并且具有足够多的多项式，则使用较高阶的泰勒公式可以得到更高的精度。但是，如果函数不是连续的或者没有足够多的多项式，则使用较高阶的泰勒公式可能并不会得到更高的精度。
此外，泰勒公式的精度还取决于我们使用的划分粒度。如果将区间划分的越细，则精度越高。但是，过细的划分会导致计算量增加，因此我们需要在保证足够的精度的同时，尽量减少划分的粒度。
总结
泰勒公式是一种数学工具，用于逼近函数的值。它有两个版本：一阶和多阶。一阶泰勒公式使用函数的一阶导数来逼近函数的值，而多阶泰勒公式使用函数的多阶导数来逼近函数的值。泰勒公式的收敛性指的是近似值与真实值的差越来越小的情况，而精度指的是近似值与真实值的差的大小。泰勒公式的应用包括逼近复杂函数的值和解决微积分问题。
泰勒公式是一种常见的数学工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。它能够使用已知信息估计函数的值，为我们解决复杂的数学问题提供了有力的工具。
【2】、来自网友【Ecohydrology】的最佳回答：
公式我就不粘了。直接给你说作用。如果你的数学卷子上给你出一道 sin(0.05)等于多少，cos(0.1)等于多少，ln(1.02)这种题，还不让你用计算器，只能手算，那么你能算出来吗？这个时候泰勒公式就发挥它的作用了。
泰勒公式的作用，一句话说就是，把不使用加减乘除的初等函数（诸如三角函数、反三角函数、对数函数，等等）化为使用加减乘除计算的函数，这种函数的形式是高次无穷多项式。
等价无穷小其实就是泰勒公式的前一项或者两项、三项。
比如，x 趋于 0 时，sinx 等价于 x，因此 sin(0.05)约等于 0.05。
x 趋于 0 时，cos(x)等价于 1-x²/2，因此，cos(0.1)约等于 1-0.1²/2=0.995
x 趋于 0，ln(x+1)等价于 x，因此，ln(1.02)=ln(1+0.02)约等于 0.02。
【3】、来自网友【快乐一维】的最佳回答：
泰勒公式是一个函数在一点处的多项式形式的展开式，其系数可以通过求导得到，比较适用于非周期的函数。其好处是展开式是多项式，形式比较简单。
周期函数则更适合于傅立叶级数展开。
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